这个问题要讨论得满意必须以相对主义的精确定义作为基础。因此我们首先澄清相对主义的定义本身，然后讨论Plato对相对主义批判的错误以及一个改进型相对主义观点的错误，这些批判使得我们最后能够证明反证法和归谬法在证明能力上的不等价性。
§1
相对主义的原始形式是Protagoras的“人是万物的尺度”。这个观点的语义是含混不清的，因为我们不知道尺度作用的的对象是谁。而认为尺度作用于主体或者作用于客观对象将产生两种截然不同的观点。即对于Protagoras的原始观点可以有以下两种合理的解释1：
(1) 人的主观意见是决定客观真理的唯一标准。
(2) 人在主观上认为自己对于客观对象的认识是客观真理。
(1)被写成了比较自明的形式。然而从便于和(2)比较的角度看，下面的等价陈述也许更为贴切:
(1*)每个人的意见都是客观正确的。
这里我们明确列出(1)的否定⌝(1)(下文用符号“⌝”表示否定)，这样在后面谈及它时不会引起混淆。
⌝(1) 人的主观意见不是决定客观真理的唯一标准。(或：未必每个人的意见都是客观正确的。)
需要指出，这两种理解都是合理的。“尺度”意味着某种决定性，而这种决定性本身可以针对客观世界或者主观认识。
然而，(2)的合理性和自洽性是如此显然，以至于它是平凡的。且人们目前所讨论的相对主义并不包括它，但这并不意味着Protagoras的原始观点确切地是指(1)。造成这一现象的原因显然是某些人选择了(1)，并且发展了相对主义。原始观点的演化并不是我们感兴趣的问题，但明确我们在讨论什么是必要的：我们讨论相对主义，当且仅当我们严格地针对(1)。有时，我们也提及(2)，但那绝不是说我们在针对相对主义作出那些论断。
不把(2)归为相对主义的另一个原因是，这样不至于使Plato看起来过分愚蠢，这一点我们下面还会谈到。
§2
现在我们来看看Plato看似聪明的论证2：
如果Protagoras的观点是正确的，那么每个人的意见都是正确的，包括反对Protagoras观点的意见，即断定Protagoras观点错误的意见也是正确的，这样Protagoras的观点等于断定了这个观点本身是错误的。
进一步讨论之前有两点需要明确：
ⅰ.Plato的批判直接针对Protagoras的观点，即这个批判可能针对(1)和(2)这两种主要的理解中的任意一种。
ⅱ.Plato论证中的正确或错误是对客观事实的描述。
承认ⅰ源于它的合理性，Plato在证明中能导出谬误则完全是因为ⅱ。
尽管Protagoras的观点并不明确，我们依然可以通过分别讨论两种不同的理解来审视Plato的论证。
我们首先考虑更简单的情形(2)。这时Plato论证的愚蠢之处在于他所说的正确或错误并不是(2)中所描述的停留在主观上的正确或错误。更明确地，Plato没有区分主观与客观概念的不同。注意，这时我并没有论及Plato的论证关于相对主义的正确性。
考虑(1)，事实上Plato的确给出了关于(1)的看似正确的论证，但即便承认这个论证是对的，它还是很糟糕。(实际上这个证明犯了更严重的错误，我们将在§4揭示这一点，而现在我们尚无法理解这个错误，姑且相信Plato的证明是对的。在读本段时也不会引起任何误解。)因为这时问题是如此显然：对于任意一个命题P，持P和⌝P观点的人都是存在的3，于是P在客观上既真且假，这表明(1)的内部存在矛盾，因此(1)是错的。(*)
我们将在下文数次提及这个证明(*)。然而，实际上(*)同样是错的。这一点将在下文指出，而现在不是揭示这个错误的好时机。在这里我们相信它是对的对于后面的讨论将有帮助，尤其在§3中它将发挥重要的作用4。并且它在§5将用一种简单的方式得到补救。
用糟糕来形容Plato的论证并不仅仅是因为它繁琐，还因为它容易引发悖论。事实上，当我读完Plato的论证，立即想起了Richard悖论或说谎者悖论，并不由自主地做了如下考虑：
如果相对主义是错误的，那么并非每个人的意见都是正确的，反对相对主义的意见也有可能错误，即相对主义有可能是正确的，这样相对主义是错误的并且有可能是正确的。
事实是，我们危险地站在了悖论的边缘。我们似乎在说：“当(1)错误的时候，(1)有可能正确。”看起来的确产生了矛盾，因为错误本身否定了正确的可能性并且我们假设相对主义错误这件事在逻辑上是先验地存在的，然后才导出了正确的可能性。这样，我们似乎看到对于(1)本身，假设它是错误的或者正确的都导出矛盾，那么相对主义作为一个命题，本身是一个悖论。按照Bertrand Russell的话说：“这并不是人类的逻辑，我们讨论它的正误是没有意义的。”
然而我说过，我们没有真正陷入悖论而仅仅来到它的边缘。这事实上不是一个悖论，我们从语义上来把它解释清楚。问题在于，当一个人提出对(1)的判断性的观点时，这个行为是独立于“(1)错误”这个客观真理本身的。更进一步地，无论如何，我们对(1)作出判断时，“(1)错误”这个客观真理并没有被昭示。再通俗一些，没有人会在已经知道(1)客观地错误之后对其进行不必要的判断。因此，从本质上说“意见可能错误”在语义上是先验的。这样，我们通过区分“逻辑上的先验”和“语义上的先验”消除了悖论。(我并没有因为消除悖论而断言证明是正确的，然而据悖论否定Plato的论证则是错误的)
综合对(1)与(2)的考察，Plato的论证无论从那方面理解都不是高明的。
§3
一个直观的对Protagoras观点的补救方案是限制它适用的前提：
(3)相对主义对相对主义者是正确的，对非相对主义者是错误的5。
显然，Plato的推理无法否定(3)。然而不难看到，它无法消除我在§2提出的证明方法(*)所产生的矛盾，因此(3)依然是一个可以证否的错误论断。(我们只要把(*)限制在相对主义者这个子类上。即在相对主义者中，存在对同一命题P的两种不同观点。并且我们会看到，尽管(*)作为(1)的证明是错误的，但是将它限制在相对主义者这个子类上，作为否定(3)的证明是完全正确的)即相对主义观点的矛盾是内在的，它并不取决于某个人对此持什么观点。这一点是自然的，因为(1)在客观上错误，引发这个错误的内在矛盾必然不能够通过主观的调整来解决。((3)本质上就是用主观调整来解决客观矛盾的做法，它实际上是把(1)限制在一个主观上相信(1)的主体的子类上，并希望这样就能使(1)在这个子类上转变成客观真理。)
通过分析(3)这样荒谬的补救方案，我们进一步体会到Plato的论证存在着缺陷。但问题并不像“(*)是一个更好的论证，但Plato的论证同样能否定(1)”这样简单。我们来深入这个缺陷的根源。
§4
“对自身有所断定”又是一个处在悖论边缘的概念。自从Bertrand Russell用著名的理发师悖论动摇了整个数学基础之后，许多数学家都认为命题不能对自身有所断定。Zermelo在集合论中添加了正则公理以消除类似的悖论。然而Kurt Gödel基于一个断言自身不可证性却又不引发悖论的元数学命题揭示了包含初等算术描述的形式系统的不完备性。
以上似乎不关乎主题，但我们即将看到，它们能够解释我们在§2中险些陷入悖论的原因。
我们首先明确由于§2的证明, (1)对自身的断定的确不产生悖论。这样我们可以放心地分析(1)是如何对自身有所断定的。
显然(1)是一个命题，然而它的内容又指示着每一个命题客观正确性的判断标准6，即对于任意的命题P，它在客观上正确与否是由(1)所给出的原则断定的。由于P的任意性，用(1)代替它，那么(1)是否正确由自身所给出的原则，即人的主观意见来断定。不难想到，这样一来，我们回到了(3)。所以我们看到，所谓的补救方案(3)实际上已经包含在(1)的陈述中了。那么我们提出(3)作为补救方案实际上等价于什么也没有做，无怪乎(3)被(*)毫无改动地证否了。
再来看Plato的证明，它的全部推理基于对相对主义客观正确性的假设。但是现在我们看到了问题：这个支撑证明的假设被(3)否定了，即被(1)否定了((1)蕴涵着(3))。也就是说，Plato的假设本身是否定(1)的。实质上，Plato用一个否定(1)的假设推出(1)是错误的，这是一次循环论证！而不是归谬法7。
我知道这里对于数学不扎实的读者会引起混淆，换一种浅显的方式或许会更好，尽管这种方式并不直击本质，但对于否定Plato的证明却是足够的：我们把Plato启动整个证明的假设记作H，用⇔表示命题等价，用⇒表示蕴涵。那么(1)⇒⌝H，(1)⇔H，于是H⇒⌝H。这个事实成立当且仅当H是不包含任何语义的假设8，但事情恰恰相反。
§5
既然我们否定了Plato的论证，就没有理由说(*)是对的。因为(*)本质上也基于“(1)是真的”这个假设，只是它没有被明显地列出。
于是我们陷入一种绝望与纠结，因为到目前为止我们还没有提出对相对主义逻辑上不矛盾的反驳。可是仔细审视(*)，我说过它诱导的对于(3)的否定是完全正确的，因为那个引发矛盾的假设由于所受到的限制而没有产生矛盾，我们列出(*)在这个限制下的表述：
对于任意的命题P，在相对主义者中存在着否定和肯定它的两种观点。假使相对主义对于相对主义者正确，那么P和⌝P都正确。这个矛盾表明相对主义对于相对主义者不正确。(**)
关键在于，“相对主义对于相对主义者正确”(记为(h))并不是自相矛盾的假设。(h)对(1)的正确性并无断言，并且(1)⇒(3)⇒(h)给我们的假设提供了方便。
现在我们惊奇于(**)已经给出了否定(1)的证明。因为⌝(h)⇒⌝(3)⇒⌝(1)
§6
我们看到⌝(1)不能由Plato的方法来证明，因为(1)对自身先验的断定不允许对其正确性的其他假设。那么⌝(1)不允许基于肯定假设的归谬法。而由于(1)是是错误的，因此作为归谬法的假设，我们只能肯定(1)，由此，我们找到了一个不能用归谬法证明的命题⌝(1)。⌝(1)由归谬法 不可解决是(**)不得已采取一个部分肯定的假设(h)的原因。
让人惊讶的是⌝(1)和Kurt Gödel的著名命题：
(4)我是不可证的。
是如此相似。由§4，它对自身有所断定；由§2，它不是一个悖论；由于(1)假，⌝(1)和(4)都是真命题。(至于(4)为什么是真的，需要一点数理逻辑基础。简单说来，它可以通过Gödel配数映射到PM—指Russell和Whitehead在著作Principia Mathematica中所建立的形式化的算术系统—中，这时(4)对应着唯一的算术命题(4*)，而(4*)所对应的的Gödel数表明它是不可证的。那么(4)陈述着自身不可证性的事实，因而纵然不可证而它是真的)
关于上面的数学事实，如果不能明白，承认它们并不影响阅读本文。提及(4)仅仅为了提示这个可能具有重要意义的相似性。
考虑⌝(1)，它的真本质上体现为它对自身有一个和谐的断定9。令人惊奇的是，反证法对于⌝(1)是适用的。为此，我们需要假设⌝(1)假(是的，这是个小把戏。假设(1)真就陷入Plato的循环论证，而现在这样却并不陷入假设的自相矛盾。因为⌝(1)假到(1)真的过程依赖于排中律，而我们在论证的第二步才调用它，现在⌝(1)对于自身的断定并不先验地意味着它在客观上不是假的10)，那么(1)真，此时调用(*)断言(1)假，于是⌝(1)真。实际上，我们相当于用反证法解决了一个由归谬法不能解决的问题：⌝(1)。那么反证法和归谬法在这个系统Q中证明能力的不等价性成为研究相对主义命题(1)的副产品。
§7
本文写得如此混乱实属无奈。因为系统Q涉及语义，无法完全基于命题演算来解决争论11。
我努力的方向，仅仅是避免运用自相矛盾的假设带来的循环论证。由于(1)对自身的断定，大量的证明被归为此类。同时，也是复杂系统Q中归谬法与反证法证明能力不等价的根源。
从这一点上来说，本文勉强不算是废纸，我们在§5和§6给出的两个证明方案都避免了这种循环论证。
本想证明在证明能力方面，反证法>归谬法，但§6中仅仅得到一个较弱的命题。
也许文章的线索看起来混乱。然而在批判(3)之前，我不想生硬地给出(**)，在揭示Plato的循环论证之前，不可能纠正犯了同样错误的(*)，更不可能谈到§6中的反证法。因此，本文就不得不按照这样一种顺序进行了。
复杂系统Q包含命题演算系统和许多混乱的语义，在没有规范化之前，不可能做进一步的工作。分析哲学和数理逻辑作为工具是必须的，然而我对前者一无所知的同时并不擅长后者。
(1)是错的，本质上因为它企图否认系统中的排中律。我们也有兴趣研究没有排中律的系统12，但是我们反对相对主义不仅仅在逻辑上，更应该在道义上。因此，我们在探讨这个问题时宁可承认排中律。
遗留的主要问题是⌝(1)和(4)的深刻联系，我将在今后深入思考这个问题。
注
1．更精确的解释应该区分人和人群，因为在涉及和道德标准相关的相对主义时，这种区分显然是必须的。然而本文的讨论以这种相对含混的方式进行是有益的。
2.根据ⅰ的原则，我们把“相对主义”替换为“Protagoras的观点”。后者在讨论时可以被方便地替换为(1)或(2).
3.如果所有人都持同一种观点的话，我愿意持另一种观点。
是的，我们默认排中律。不矛盾律是Plato在论证中默认的。在这个场合下没有人会反对这两条。
4.错的论证未必无用，我们把它作为讨论中的一环并充分利用其价值。在全文中，真理将渐渐被揭示。在前几段中，我们发现自己置身于错误之中，然而这些错误的看法在本质被不断揭示的过程中逐步逼近真理。这并不影响全文的逻辑。并且我们最终将给出正确的论证说明(1)是假命题。
5.这里的“正确”与“错误”应该理解成客观的，否则(3)就不包含任何语义了。因为对相对主义主观上的认同已经包含在“相对主义者”这个对子类的修饰词中了。
6.对这个观点的深入研究属于Bertrand Russell，他区分了有外延的命题和封闭的命题。
7.我想澄清一点：归谬法和反证法在形式上的不同是：归谬法为证 P假而假定P真，反证法为证R真而假设R假。至于二者证明能力的不等价性将在本文§6得到一个意想不到的证明。
8.又一次使用排中律。对于不包含任何语义的假设，注5所提供的“相对主义对于相对主义者在主观上是正确的”是一个例子。
9.无论如何，“真”这个事实对于下面的讨论是足够的。即你可以不相信我所有带有描述性的词汇。但是逻辑局限在某种范围内是正确的。
10.正如我所说它对自身有判断，但很弱很和谐。这个判断是说，人们对于⌝(1)的主观看法并不左右⌝(1)在客观上的真假。这个断言并不和⌝(1)是假的相冲突，反而支持我们假设⌝(1)是真的或者假的。应该能体会到，我们此时所处的假设环境和Plato证明时是相反的。注意，这里不应该继续深入考察语义而说假设⌝(1)假即假设(1)真，因为这意味着你使用了排中律。在一个反证法的假设中，仅仅包含一个陈述，而不应包含逻辑原理。即我们只认为那些假设陈述本身自相矛盾的证明是错的。
11.这也就是为什么Leibniz最初的构想是不可实现的。
12.Godel的工作不是恰恰说明排中律在PM中未必普遍成立吗？然而对于Plato主义者，排中律永远是成立的。另一个重要的例子是metaphysics。